Аналіз околу кригінгу (KNA) в геології - це геостатистичний метод, що використовується для оптимізації параметрів кригінгу, геостатистичної техніки оцінки, з метою підвищення точності та надійності оцінки мінеральних ресурсів. Зокрема, KNA допомагає мінімізувати умовне зміщення - поширену проблему в кригінгу, при якій оцінені вмісти блоків є менш варіативними, ніж фактичні вмісти.
Більшість методів оцінки ресурсів використовують ту чи іншу форму згладжування вмістів для інтерполяції значень у блок на основі навколишніх проб. Процес визначення належної схеми пошуку проб часто називають аналізом околу кригінгу, а керівництво з його реалізації розглянуто в роботі Vann, Jackson та Bertoli (2003). Ці методи можна поділити на дві категорії: негеостатистичні та геостатистичні.
Негеостатистичні методи інтерполяції вмістів використовують певну залежність між відстанню від проби до центру блоку та присвоєною їй вагою. Найпоширеніший підхід зважує кожну пробу за деяким степенем оберненої відстані до оцінюваного блоку (IDW).
Усі геостатистичні підходи до інтерполяції вмістів базуються на тій чи іншій формі кригінгу, де вага, присвоєна кожному значенню, визначається моделлю семіваріограми, що описує просторову неперервність. Ці геостатистичні методи можна поділити на три класи: лінійний кригінг, нелінійний кригінг та імітаційне моделювання.
Методи лінійного кригінгу є найпростішими у застосуванні та базуються на простому або звичайному кригінгу та його варіаціях. При моделюванні ресурсів методом кригінгу необхідно встановити низку параметрів оцінки, таких як розмір блокової моделі, мінімальна та максимальна кількість проб тощо.
Якщо інтерполяція вмістів у блоці блокової моделі виконувалася методом звичайного або простого кригінгу, то для категоризації ресурсів необхідно розрахувати декілька атрибутів, що відображають якість результатів оцінки для кожного блоку (включно з наявністю зміщеної оцінки).
У більшості сучасних програмних продуктів ці параметри розраховуються автоматично. Різні програмні пакети включають функціональність KNA для допомоги геологам у цьому процесі. З випуском K-MINE 2025 аналіз околу кригінгу (KNA) доступний при виконанні геостатистичного аналізу.
У цій статті ми розглянемо основні метрики KNA та їхній вплив на оцінку ресурсів.
Основні метрики KNA
Для оцінки якості кригінгу застосовується набір метрик, об’єднаних загальною назвою «Аналіз околу кригінгу» (KNA): дисперсія кригінгу, ефективність кригінгу, нахил регресії, величина від’ємних ваг тощо. Оптимізація цих параметрів спрямована на мінімізацію умовного зміщення - різниці між оціненими вмістами блоків та фактичним середнім вмістом відпрацьованих блоків.
Оптимізація розміру блоку
Для оцінки якості кригінгу застосовується набір метрик, об’єднаних загальною назвою «Аналіз околу кригінгу» (KNA): дисперсія кригінгу, ефективність кригінгу, нахил регресії, величина від’ємних ваг тощо. Оптимізація цих параметрів спрямована на мінімізацію умовного зміщення - різниці між оціненими вмістами блоків та фактичним середнім вмістом відпрацьованих блоків.
Визначення розміру блоку потребує ретельної оцінки багатьох факторів, включно з інженерними вимогами, геометрією рудного тіла, розміром обладнання та кроком випробування. Рисунок 2 показує, що на основі ефективності кригінгу та нахилу регресії оптимальний розмір блоку становить 808040.
Однак слід пам’ятати, що поняття «оптимальний» має визначатися для кожної конкретної ситуації. Дискусія повинна переходити від умовного зміщення до мети оцінки та завдань дослідження.
Ефективність кригінгу
Ефективність кригінгу (KE) була запропонована Krige (1996) як метрика для оцінки ефективності блочних оцінок. Рівняння для KE:
де KV - дисперсія кригінгу, а BV - дисперсія блоку.
Рівняння для BV:
де μ - множник Лагранжа, λi - коефіцієнти кригінгу, γ(xi,xo) - значення варіограми для відстаней у парах: проба-точка оцінки (центр блоку).
Високе значення KE свідчить про низький KV, що вказує на наявність численних близько розташованих точок даних та мінімальне згладжування оцінки. І навпаки, низьке KE передбачає високий KV, що свідчить про нестачу локальних даних та потенційне згладжування оцінки.
Дисперсія кригінгу
Дисперсія кригінгу - це мінімізована похибка оцінки кригінгу, тобто очікувана квадратична різниця між істинним та оціненим значеннями. Дисперсія кригінгу розраховується з використанням значень коваріації (отриманих з варіограми) та ваг, присвоєних точкам даних у просторі пошуку (Barboza I. та Deutsch C., 2024). Рівняння для KV:
де μ - множник Лагранжа, λi - коефіцієнти кригінгу, γ(xi,V) - середнє арифметичне значення γ за варіограмою для відстаней до всіх точок випробування в блоці від точки xi, γ(V,V) - середнє арифметичне значення γ за варіограмою між усіма точками випробування всередині блоку.
KV разом з ефективністю кригінгу утворює тісно взаємопов’язаний набір параметрів для оцінки якості кригінгу.
Розрахунок KV тісно пов’язаний з дискретизацією, оскільки потребує обчислення середнього значення гами за точками дискретизації в блоці, а не лише за центральною точкою блоку, як при розрахунку BV.
Принцип дискретизації полягає в оцінці середнього значення в межах заданої локальної області (в K-MINE - в межах віртуального блоку, координати центру та розміри якого задаються в початкових налаштуваннях).
Для цього користувач повинен вказати кількість дискретних точок всередині блоку. Точки дискретизації - це центри комірок всередині оцінюваного блоку (РИС. 3). Кожна точка оцінюється (як точкова оцінка), а середнє значення цих точок є оцінкою блоку. Кількість точок дискретизації відповідає кількості комірок, на які поділяється блок.
Початковий розмір блоку та координати його центру задаються користувачем. Потім, залежно від зазначеної кількості дискретних точок, вихідний блок рівномірно поділяється на відповідну кількість комірок у напрямках X, Y та Z, а координати центрів сформованих субблоків відповідатимуть точкам дискретизації. Тобто кількість дискретних точок визначає кількість субблоків.
Наприклад, якщо для початкового блоку з розмірами ребра за осями X, Y та Z 10×10×5 задано комбінацію дискретних точок: у напрямку X=3, у напрямку Y=3, у напрямку Z=3. Це означає, що блок рівномірно поділяється на три комірки за трьома осями. Розмір ребра субблоків становить: для X=10/3=3.33 м, для Y=10/3=3.33 м, для Z=5/3=1.66 м, а кількість дискретних точок (центрів субблоків) у початковому блоці становитиме: 3×3×3=27.
На графіку Рис. 4 червона горизонтальна лінія відповідає значенню ефективності кригінгу 80%. Ця лінія слугує орієнтиром для користувача при виборі оптимальної кількості точок випробування.
Оптимальний варіант дискретизації визначається точками на графіку, розташованими якомога ближче до червоної (ефективність кригінгу 80%) та синьої (нахил регресії 0.9) ліній.
Нахил регресії
Нахил регресії (SR) забезпечує оцінку умовного зміщення, вимірюючи нахил лінійної регресії істинного значення за оцінкою. Це безпосередньо спостерігається при перехресній валідації, але також може бути теоретично розраховано поблочно з використанням очікуваних значень, отриманих з коваріацій.
де µ - множник Лагранжа при розрахунку KV.
Нахил лінії регресії, що пов’язує істинні та оцінені значення, часто використовується для діагностики умовного зміщення. В ідеалі нахил цієї лінії повинен дорівнювати одиниці, що передбачає умовну незміщеність.
І нахил регресії, і ефективність кригінгу слід інтерпретувати з обережністю. Вменене зниження зміщення може бути неприйнятним підходом до оцінки вмістів металів, особливо для родовищ, що потребують високих бортових вмістів для відпрацювання.
Умовне зміщення є серйозною проблемою, якщо оцінка використовується для прийняття остаточного або близького до остаточного рішення, наприклад, для контролю вмістів на кар’єрі або оцінки виїмкових блоків при підземному видобутку. Якщо оцінка призначена для розділення порожньої породи та руди на завершальному етапі виробництва, то згладжування є виправданим для запобігання умовному зміщенню.
Однак якщо оцінки вмістів призначені для проміжного етапу планування і в майбутньому стане доступною більш детальна інформація для розділення руди та порожньої породи у виробничих умовах, то згладжування стане проблемою, оскільки воно не відобразить коректне співвідношення вміст-тоннаж, яке можна очікувати при видобутку (Glacken I. та Trueman A., 2014).
Кількість проб для оцінки та від’ємні ваги
Розрахунок цих показників виконується для підтвердження оптимального вибору незміщеної оцінки кригінгу з оптимальним розміром блоку.
При натисканні на маркер відповідні значення візуалізуються на графіку, і користувач повинен обрати та зафіксувати найбільш прийнятні максимальне та мінімальне значення проб (РИС. 5).
У рамках інтерполяції на межі пошуку можуть з’являтися від’ємні ваги кригінгу. Їхня присутність вказує на вибір надійних параметрів інтерполяції, але їхня кількість у загальній масі проб, що беруть участь в інтерполяції, не повинна перевищувати 5%. Якщо кількість ваг перевищує зазначене значення, існує ризик отримання недостовірного результату.
У зонах з меншою щільністю випробування або за відсутності проб присутня щонайменше одна від’ємна вага. Порожній простір на карті представляє блоки, в яких присутні лише додатні ваги. При простому кригінгу нахил регресії завжди дорівнює одиниці.
Розрахунок кількості від’ємних ваг кригінгу та суми від’ємних ваг у K-MINE виконується для всіх розмірів блоків, зазначених на вкладці «Оптимізація розміру блоку», з раніше обраними та зафіксованими налаштуваннями: кількість точок випробування, мінімальна та максимальна кількість проб, мінімальна кількість проб з однієї свердловини (РИС. 6).
Після прийняття відповідних параметрів користувачі можуть перейти до наступних етапів інтерполяції та валідації блокової моделі. K-MINE підтримує простий та звичайний кригінг, кригінг із зовнішнім дрейфом, кокригінг тощо.
Обговорення
KNA може бути інтегрований у робочі процеси оцінки ресурсів, дозволяючи геологам оптимізувати параметри безпосередньо у програмному забезпеченні та застосовувати ці оптимізовані налаштування до підсумкової оцінки вмістів. Перед геологами постійно стоїть завдання забезпечити точні оцінки ресурсів швидше, якісніше або економічніше.
З одного боку, програмне забезпечення допомагає виконувати численні ітерації швидше, але водночас зростає потреба в розумінні геостатистичних методів та взаємодії з багатьма іншими дисциплінами. Взаємозв’язок між бортовим вмістом, варіограмою, кроком випробування, необхідним ступенем згладжування та оціночною селективністю вилучення є комплексною задачею.
При включенні факторів геометалургії, геотехніки тощо в оцінку моделі геолог повинен мати знання в цих галузях. Обчислювальні технології - хороший інструмент лише в руках професіонала.
У спільноті фахівців з оцінки ресурсів ведеться дискусія про дві протилежні цілі: мінімізацію глобального умовного зміщення та забезпечення локальної точності блоків. В умовах високої щільності випробування обидві цілі досяжні, однак на стадіях передпроєктної підготовки та техніко-економічного обґрунтування гірничого циклу рідко вдається одночасно мінімізувати глобальне зміщення та забезпечити локальну точність вмістів. Krige (1996) розглядає інструменти для вимірювання (і, відповідно, мінімізації) умовного зміщення в оцінці, тоді як Isaaks (2004) обговорює парадокс спроби досягти незміщеної, але локально точної оцінки. На думку Glacken та Trueman (2014), більшості фахівців вдається отримати або умовно незміщену, або локально точну оцінку, і для більшості пріоритетом є досягнення мінімального умовного зміщення за рахунок локальної точності.
Завершальним завданням оцінки ресурсів є присвоєння категорій класифікації для визначення рівня достовірності ресурсів. Нерідко можна почути дебати серед геологів про параметри блокової моделі, які необхідно враховувати при присвоєнні категорій ресурсів - Виміряні, Визначені та Передбачені.
При полігональних методах ресурси зазвичай класифікуються за загальною щільністю буріння. Інший підхід - враховувати середню відстань від центру блоку до проб, використаних для оцінки блоку, або просто кількість проб, виявлених в об’ємі пошуку. Це передбачає множинні прогони оцінки зі збільшенням радіуса пошуку проб. У цьому випадку блоки оцінюються з використанням найбільш віддалених проб з найнижчою категорією достовірності. Недоліком цього автоматизованого підходу є відомий ефект «spotted dog» та порушення необхідної вимоги неперервності рудного тіла.
Підходи до класифікації категорій ресурсів на основі дисперсії кригінгу або похибки, що вноситься при оцінці, також є популярними. Дисперсія кригінгу є хорошим індикатором сумарної відстані між пробами з урахуванням анізотропії та кластеризації проб. Інші числові підходи включають коефіцієнт регресії та індекси ефективності кригінгу, запропоновані Krige.
Підсумовуючи все вищезазначене, класифікація ресурсів базується на поєднанні числових та геологічних критеріїв за обов’язкового контролю компетентної особи.
Розвиток умовного моделювання та використання обчислювальних технологій і штучного інтелекту відкривають нові перспективи для створення універсальних комплексних модулів, що поєднують моделювання ресурсів з оптимізацією та плануванням гірничих робіт. Саме в цьому напрямку розвивається K-MINE.
