El Análisis de Vecindad de Kriging (KNA) en geología es un método geoestadístico utilizado para optimizar los parámetros de kriging, una técnica de estimación geoestadística, con el fin de mejorar la precisión y confiabilidad de las estimaciones de recursos minerales. Específicamente, el KNA ayuda a minimizar el sesgo condicional, un problema común en kriging donde las leyes estimadas de los bloques presentan menor variabilidad que las leyes reales.
La mayoría de los métodos de estimación de recursos utilizan alguna forma de suavizado de leyes para interpolar valores en un bloque basándose en las muestras circundantes. El proceso de determinar un esquema adecuado de búsqueda de muestras se conoce comúnmente como análisis de vecindad de kriging, y una guía para su implementación se encuentra en Vann, Jackson y Bertoli (2003). Estos métodos pueden dividirse en dos categorías: no geoestadísticos y geoestadísticos.
Los métodos de interpolación de leyes no geoestadísticos utilizan alguna relación entre la distancia de una muestra al centro del bloque y un peso asignado a ella. El enfoque más utilizado pondera cada muestra por alguna potencia del inverso de su distancia al bloque estimado (IDW).
Todos los enfoques geoestadísticos para la interpolación de leyes se basan en alguna forma de kriging, donde el peso aplicado a cada dato se determina mediante un modelo de semivariograma que define la continuidad. Estos métodos geoestadísticos pueden dividirse en tres clases: kriging lineal, kriging no lineal y modelamiento por simulación.
Los métodos de kriging lineal son los más sencillos de aplicar y se basan en kriging simple u ordinario y sus variaciones. Al realizar el modelamiento de recursos mediante kriging, se deben establecer diversos parámetros de estimación, como el tamaño del modelo de bloques, el número mínimo y máximo de muestras, entre otros.
Si la interpolación de contenidos en un bloque del modelo de bloques se realizó utilizando el método de kriging ordinario o simple, entonces para categorizar los recursos es necesario calcular varios atributos que muestren la calidad de los resultados de la evaluación para cada bloque (incluyendo la presencia de una estimación sesgada).
En la mayoría de los productos de software modernos, estos parámetros se calculan automáticamente. Diversos paquetes de software incorporan la funcionalidad KNA para asistir a los geólogos en este proceso. Con el lanzamiento de K-MINE 2025, el Análisis de Vecindad de Kriging (KNA) está disponible al realizar análisis geoestadístico.
En este artículo, revisaremos las principales métricas del KNA y su impacto en la estimación de recursos.
Principales métricas del KNA
Para evaluar el rendimiento del kriging, se emplea un conjunto de métricas denominadas colectivamente Análisis de Vecindad de Kriging (KNA), tales como la varianza de kriging, la eficiencia de kriging, la pendiente de regresión, la magnitud de los pesos negativos, entre otras. Mediante la optimización de estos parámetros, el KNA busca minimizar el sesgo condicional, que es la diferencia entre las leyes estimadas de los bloques y la ley promedio real de los bloques explotados.
Optimización del tamaño de bloque
Para evaluar el rendimiento del kriging, se emplea un conjunto de métricas denominadas colectivamente Análisis de Vecindad de Kriging (KNA), tales como la varianza de kriging, la eficiencia de kriging, la pendiente de regresión, la magnitud de los pesos negativos, entre otras. Mediante la optimización de estos parámetros, el KNA busca minimizar el sesgo condicional, que es la diferencia entre las leyes estimadas de los bloques y la ley promedio real de los bloques explotados.
La determinación del tamaño de bloque requiere una evaluación cuidadosa de múltiples factores, incluyendo consideraciones de ingeniería, geometría del depósito mineral, tamaño del equipo y espaciamiento de datos. La Figura 2 muestra que, con base en la eficiencia de kriging y la pendiente de regresión, el tamaño óptimo de bloque es 808040.
Sin embargo, debe recordarse que el concepto de “óptimo” debe definirse para cada situación. La discusión debe orientarse desde el sesgo condicional hacia el propósito de la evaluación y los objetivos del estudio.
Eficiencia de kriging
La Eficiencia de Kriging (KE) fue introducida por Krige (1996) como una métrica para evaluar la eficiencia de las estimaciones de bloques. La ecuación para KE es:
donde KV es la varianza de kriging y BV es la varianza del bloque.
La ecuación para BV es:
donde μ es el multiplicador de Lagrange, λi son los coeficientes de kriging, γ(xi,xo) es el valor del variograma para las distancias en pares: muestra-ubicación de estimación (centro del bloque).
Un KE alto indica un KV bajo, lo que señala la presencia de numerosos puntos de datos espaciados de forma cercana y un suavizado mínimo en la estimación. Por el contrario, un KE bajo implica un KV alto, sugiriendo escasez de datos locales y la posibilidad de una estimación suavizada.
Varianza de kriging
La varianza de kriging es el error minimizado de la estimación por kriging, es decir, la diferencia cuadrática esperada entre el valor real y el valor estimado. La varianza de kriging se calcula utilizando los valores de covarianza (obtenidos del variograma) y los pesos asignados a los puntos de datos en el espacio de búsqueda (Barboza I. y Deutsch C., 2024). La ecuación para KV es:
donde μ es el multiplicador de Lagrange, λi son los coeficientes de kriging, γ(xi,V) es el valor medio aritmético de γ a lo largo del variograma para las distancias a todos los puntos de muestreo en el bloque desde el punto xi, γ(V,V) es el valor medio aritmético de γ a lo largo del variograma entre todos los puntos de muestreo dentro del bloque.
KV, junto con la Eficiencia de Kriging, constituye un conjunto de parámetros estrechamente interrelacionados para evaluar el rendimiento del kriging.
El cálculo de KV está estrechamente relacionado con la discretización, ya que requiere el cálculo del gamma promedio sobre los puntos de discretización en un bloque, y no solo sobre el punto central del bloque, como en el cálculo de BV.
El principio de la discretización consiste en estimar el valor promedio dentro de un área local especificada (en K-MINE, dentro de un bloque virtual, cuyas coordenadas del centro y dimensiones se especifican en la configuración inicial).
Para ello, el usuario debe especificar el número de puntos discretos dentro del bloque. Los puntos de discretización son los centros de las celdas dentro del bloque estimado (FIG. 3). Cada punto se estima (como una estimación puntual), y el valor promedio de estos puntos constituye la estimación del bloque. El número de puntos de discretización corresponde al número de celdas en que se divide el bloque.
El tamaño inicial del bloque y las coordenadas de su centro son especificados por el usuario. Luego, dependiendo del número de puntos discretos especificados, el bloque original se divide uniformemente en el número correspondiente de celdas en las direcciones X, Y y Z, y las coordenadas de los centros de los sub-bloques formados corresponderán a los puntos de discretización. Es decir, el número de puntos discretos determina el número de sub-bloques.
Por ejemplo, si para un bloque inicial con dimensiones de arista a lo largo de los ejes X, Y y Z de 10×10×5, se especifica la combinación de puntos discretos: en la dirección X=3, en la dirección Y=3, en la dirección Z=3. Esto significa que el bloque se divide uniformemente en tres celdas a lo largo de tres ejes. El tamaño de arista de los sub-bloques es: para X=10/3=3.33m, para Y=10/3=3.33m, para Z=5/3=1.66m, y el número de puntos discretos (centros de sub-bloques) en el bloque inicial será: 3×3×3=27.
El gráfico de la Fig. 4 muestra una línea horizontal en rojo, correspondiente a un valor de Eficiencia de Kriging del 80%. Esta línea sirve como guía para el usuario al elegir el número óptimo de puntos de muestreo.
La opción óptima de discretización se determina por los puntos en el gráfico ubicados lo más cerca posible de las líneas roja (eficiencia de kriging 80%) y azul (pendiente de regresión 0.9).
Pendiente de regresión
La Pendiente de Regresión (SR) proporciona una medida del sesgo condicional, midiendo la pendiente de la regresión lineal del valor real sobre la estimación. Esto se observa directamente en la validación cruzada, pero también puede calcularse teóricamente bloque por bloque utilizando valores esperados derivados de las covarianzas.
donde µ es el multiplicador de Lagrange en el cálculo de KV.
La pendiente de la línea de regresión, que relaciona los valores reales y estimados, se utiliza frecuentemente para diagnosticar el sesgo condicional. Idealmente, la pendiente de esta línea debe ser igual a uno, lo que implica ausencia de sesgo condicional.
Tanto la pendiente de regresión como la eficiencia de kriging deben interpretarse con precaución. La reducción imputada del sesgo puede no ser un enfoque adecuado para estimar leyes metálicas, especialmente en depósitos que requieren leyes de corte altas para su extracción.
El sesgo condicional es un problema serio si la estimación se utilizará para tomar una decisión final o casi final, como el control de leyes en una mina a cielo abierto o la estimación de caserones en minería subterránea. Si la estimación tiene como objetivo separar estéril y mineral al final de la producción, entonces el suavizado está justificado para prevenir el sesgo condicional.
Sin embargo, si las estimaciones de leyes están destinadas a una etapa intermedia de planificación y en el futuro se dispondrá de información más detallada para separar mineral y estéril en condiciones de producción, entonces el suavizado será un problema porque no reflejará la relación ley-tonelaje correcta que puede esperarse durante la producción (Glacken I. y Trueman A., 2014).
Número de muestras para la estimación y pesos negativos
El cálculo de estos indicadores se realiza para confirmar la selección óptima de la estimación de kriging no sesgada con el tamaño de bloque óptimo.
Al hacer clic en un marcador, los valores correspondientes se visualizan en el gráfico, y el usuario debe seleccionar y fijar los valores máximo y mínimo de muestras más aceptables (FIG. 5).
En el marco de la interpolación, pueden aparecer pesos negativos de kriging en el límite de búsqueda. Su presencia indica la selección de parámetros de interpolación confiables, pero su cantidad en el total de muestras que participan en la interpolación no debe exceder el 5%. Si el número de pesos excede el valor especificado, existe riesgo de obtener un resultado poco confiable.
En zonas de menor densidad de muestreo o donde no hay muestreo, al menos un peso negativo está presente. El espacio en blanco en el mapa representa bloques donde solo hay pesos positivos. En Kriging Simple, la Pendiente de Regresión siempre es uno.
El cálculo del número de pesos negativos de kriging y la suma de pesos negativos en K-MINE se realiza para todos los tamaños de bloque especificados en la pestaña “Optimización del tamaño de bloque” con los ajustes previamente seleccionados y fijados: el número de puntos de muestreo, el número mínimo y máximo de muestras, y el número mínimo de muestras de un sondaje (FIG. 6).
Después de aceptar los parámetros apropiados, los usuarios pueden proceder a las siguientes etapas de interpolación y validación del modelo de bloques. K-MINE soporta Kriging Simple y Ordinario, Kriging con deriva externa, Cokriging, entre otros.
Discusión
El KNA puede integrarse en los flujos de trabajo de estimación de recursos, permitiendo a los geólogos optimizar los parámetros directamente dentro del software y aplicar estas configuraciones optimizadas a la estimación final de leyes. Los geólogos enfrentan constantemente el desafío de proporcionar estimaciones de recursos precisas de manera más rápida, mejor o más económica.
Por un lado, el software permite implementar múltiples iteraciones de forma más rápida, pero al mismo tiempo, crece la necesidad de comprender los métodos geoestadísticos y su interacción con muchas otras disciplinas. La relación entre ley de corte, variograma, espaciamiento de muestreo, grado de suavizado requerido y selectividad de recuperación estimada es un problema complejo.
Al incluir factores de geometalurgia, geotecnia, etc. en la estimación del modelo, el geólogo debe tener conocimientos en estas áreas. La tecnología computacional es una buena herramienta solo en manos de un profesional.
Existe un debate dentro de la comunidad de estimación de recursos sobre dos objetivos opuestos: minimizar el sesgo condicional global y garantizar la precisión local de los bloques. En entornos con alta densidad de muestreo, ambos objetivos son alcanzables, pero en las etapas de pre-desarrollo y factibilidad del ciclo minero, rara vez es posible minimizar simultáneamente el sesgo global y garantizar la precisión local de las leyes. Krige (1996) discute herramientas para medir (y así minimizar) el sesgo condicional en una estimación, mientras que Isaaks (2004) discute la paradoja de intentar lograr una estimación insesgada pero localmente precisa. En opinión de Glacken y Trueman (2014), la mayoría de los estimadores logran alcanzar ya sea una estimación condicionalmente insesgada o una estimación localmente precisa, y para la mayoría, el enfoque se centra en lograr el mínimo sesgo condicional a expensas de la precisión local.
La tarea final de la estimación de recursos es asignar categorías de clasificación para la confianza de los recursos. Es bastante común escuchar debates entre geólogos sobre los parámetros del modelo de bloques que deben considerarse al asignar categorías de recursos a Medidos, Indicados e Inferidos.
En los métodos poligonales, los recursos generalmente se clasifican utilizando la densidad total de sondajes. Otro enfoque es considerar la distancia promedio desde el centro del bloque hasta las muestras utilizadas para estimar el bloque, o simplemente el número de muestras identificadas en el volumen de búsqueda. Esto implica múltiples corridas de estimación y el aumento del radio de búsqueda de las muestras. En este caso, los bloques se estiman utilizando las muestras más distantes con la categoría de confianza más baja. La desventaja de este enfoque automatizado es el conocido efecto “spotted dog” y la violación del requisito necesario de continuidad del cuerpo mineralizado.
Los enfoques para clasificar categorías de recursos basados en la varianza de kriging o el error introducido durante la estimación también son populares. La varianza de kriging es un buen indicador de la distancia total entre muestras, considerando la anisotropía y el agrupamiento de muestras. Otros enfoques numéricos incluyen el coeficiente de regresión y los índices de eficiencia de kriging propuestos por Krige.
Para resumir todo lo anterior, la clasificación de recursos se basa en una combinación de criterios numéricos y geológicos con la supervisión necesaria de una persona competente.
El desarrollo del modelamiento condicional y el uso de tecnología computacional e inteligencia artificial abren nuevas perspectivas para la creación de módulos complejos universales que combinan el modelamiento de recursos con la optimización y planificación de operaciones mineras. Esta es la dirección en la que avanza K-MINE.
