Аналіз околу кригінгу (Kriging Neighborhood Analysis, KNA) у геології — це геостатистичний метод, який використовується для оптимізації параметрів кригінгу, техніки геостатистичної оцінки, з метою підвищення точності та достовірності оцінки мінеральних ресурсів. Зокрема, KNA допомагає мінімізувати умовне зміщення — поширену проблему кригінгу, при якій оцінені вмісти в блоках мають меншу варіабельність, ніж фактичні вмісти.

Більшість методів оцінки ресурсів використовують ту чи іншу форму згладжування вмістів для інтерполяції значень у блок на основі навколишніх проб. Процес визначення відповідної схеми пошуку проб часто називають аналізом околу кригінгу, а посібник з його застосування розглянуто в роботі Vann, Jackson та Bertoli (2003). Ці методи можна поділити на дві категорії: негеостатистичні та геостатистичні.

Негеостатистичні методи інтерполяції вмістів використовують певну залежність між відстанню від проби до центру блоку та присвоєною їй вагою. Найпоширеніший підхід зважує кожну пробу за деяким степенем оберненої відстані від блоку, що оцінюється (метод обернених відстаней, IDW).

Усі геостатистичні підходи до інтерполяції вмістів базуються на тій чи іншій формі кригінгу, де вага, що присвоюється кожній пробі, визначається моделлю напіввариограми, яка описує просторову неперервність. Ці геостатистичні методи можна поділити на три класи: лінійний кригінг, нелінійний кригінг та імітаційне моделювання.

Методи лінійного кригінгу найпростіші у застосуванні та базуються на простому або ординарному кригінгу та його модифікаціях. При моделюванні ресурсів методом кригінгу необхідно встановити низку параметрів оцінки, таких як розмір блоку блочної моделі, мінімальна та максимальна кількість проб тощо.

Якщо інтерполяція вмістів у блоці блочної моделі виконувалася методом ординарного або простого кригінгу, то для категоризації ресурсів необхідно розрахувати декілька атрибутів, що характеризують якість результатів оцінки для кожного блоку (включаючи наявність зміщеної оцінки).

У більшості сучасних програмних продуктів ці параметри розраховуються автоматично. Різні програмні пакети включають функціонал KNA для допомоги геологам у цьому процесі. З виходом версії K-MINE 2025 аналіз околу кригінгу (KNA) став доступним при виконанні геостатистичного аналізу.

У цій статті ми розглянемо основні метрики KNA та їх вплив на оцінку ресурсів.

Основні метрики KNA

Для оцінки якості кригінгу використовується набір метрик, об’єднаних під загальною назвою «Аналіз околу кригінгу» (KNA): дисперсія кригінгу, ефективність кригінгу, нахил регресії, величина від’ємних ваг тощо. Шляхом оптимізації цих параметрів KNA прагне мінімізувати умовне зміщення — різницю між оціненими вмістами в блоках та фактичним середнім вмістом у відпрацьованих блоках.

Оптимізація розміру блоку

РИС. 1 – Ілюстрація ефекту об’єм-дисперсія або зміни носія від точок до всього домену на розподіл вмістів та варіограму

Визначення розміру блоку потребує ретельної оцінки багатьох факторів, включаючи інженерні міркування, геометрію рудного тіла, розміри обладнання та крок опробування. На рисунку 2 показано, що на основі ефективності кригінгу та нахилу регресії оптимальний розмір блоку становить 80×80×40.

РИС. 2 – Оптимізація розміру блоку в K-MINE

Однак слід пам’ятати, що поняття «оптимальний» має визначатися для кожної конкретної ситуації. Обговорення має зміститися від умовного зміщення до мети оцінки та завдань дослідження.

Ефективність кригінгу

Ефективність кригінгу (Kriging Efficiency, KE) була введена Кріге (1996) як метрика для оцінки ефективності блочних оцінок. Формула для KE:

де KV — дисперсія кригінгу, BV — дисперсія блоку.

Формула для BV:

де μ — множник Лагранжа, λi — коефіцієнти кригінгу, γ(xi,xo) — значення варіограми для відстаней у парах: проба — точка оцінки (центр блоку).

Високе значення KE вказує на низьке значення KV, що свідчить про наявність багатьох близько розташованих точок даних та мінімальне згладжування оцінки. Навпаки, низьке значення KE означає високе KV, що вказує на нестачу локальних даних та можливість отримання згладженої оцінки.

Дисперсія кригінгу

Дисперсія кригінгу — це мінімізована похибка оцінки кригінгу, тобто очікувана квадратична різниця між істинним та оціненим значеннями. Дисперсія кригінгу розраховується з використанням значень коваріації (отриманих з варіограми) та ваг, присвоєних точкам даних у просторі пошуку (Barboza I. та Deutsch C., 2024). Формула для KV:

де μ — множник Лагранжа, λi — коефіцієнти кригінгу, γ(xi,V) — середнє арифметичне значення γ за варіограмою для відстаней до всіх точок опробування в блоці від точки xi, γ(V,V) — середнє арифметичне значення γ за варіограмою між усіма точками опробування всередині блоку.

KV у поєднанні з ефективністю кригінгу становить тісно взаємопов’язаний набір параметрів для оцінки якості кригінгу.

Розрахунок KV тісно пов’язаний з дискретизацією, оскільки потребує обчислення середньої гамми за точками дискретизації в блоці, а не лише за центральною точкою блоку, як при розрахунку BV.

Принцип дискретизації полягає в оцінці середнього значення в межах заданої локальної області (в K-MINE — в межах віртуального блоку, координати центру та розміри якого задаються в початкових налаштуваннях).

Для цього користувач має вказати кількість дискретних точок всередині блоку. Точки дискретизації — це центри комірок всередині блоку, що оцінюється (рис. 3). Кожна точка оцінюється (як точкова оцінка), а середнє значення цих точок є оцінкою блоку. Кількість точок дискретизації відповідає кількості комірок, на які ділиться блок.

РИС. 3 – Кількість точок дискретизації за напрямками осей в K-MINE

Початковий розмір блоку та координати його центру задаються користувачем. Потім, залежно від заданої кількості дискретних точок, вихідний блок рівномірно ділиться на відповідну кількість комірок за напрямками X, Y та Z, а координати центрів утворених підблоків відповідатимуть точкам дискретизації. Таким чином, кількість дискретних точок визначає кількість підблоків.

Наприклад, якщо для початкового блоку з розміром ребра за осями X, Y та Z 10×10×5 задано комбінацію дискретних точок: за напрямком X=3, за напрямком Y=3, за напрямком Z=3. Це означає, що блок рівномірно ділиться на три комірки за трьома осями. Розмір ребра підблоків становитиме: для X=10/3=3,33 м, для Y=10/3=3,33 м, для Z=5/3=1,66 м, а кількість дискретних точок (центрів підблоків) у початковому блоці буде: 3×3×3=27.

На графіку рис. 4 червона горизонтальна лінія відповідає значенню ефективності кригінгу 80%. Ця лінія слугує орієнтиром для користувача при виборі оптимальної кількості точок опробування.

РИС. 4 – Оцінка дискретизації в K-MINE

Оптимальний варіант дискретизації визначається точками на графіку, розташованими максимально близько до червоної (ефективність кригінгу 80%) та синьої ліній (нахил регресії 0,9).

Нахил регресії

Нахил регресії (Slope of Regression, SR) є мірою умовного зміщення, що вимірює нахил лінійної регресії істинного значення відносно оцінки. Це безпосередньо спостерігається при перехресній валідації, але також може бути теоретично розраховано для кожного блоку з використанням очікуваних значень, отриманих з коваріацій.

де µ — множник Лагранжа при розрахунку KV.

Нахил лінії регресії, що враховує істинні та оцінені значення, часто використовується для діагностики умовного зміщення. В ідеалі нахил цієї лінії має дорівнювати одиниці, що означає умовну незміщеність.

До нахилу регресії та ефективності кригінгу слід ставитися з обережністю. Розрахункове зниження зміщення може бути непідходящим підходом до оцінки вмістів металу, особливо на родовищах, що потребують високих бортових вмістів для відпрацювання.

Умовне зміщення становить серйозну проблему, якщо оцінка призначена для прийняття остаточного або близького до остаточного рішення, наприклад, для оперативного контролю вмістів на кар’єрі або для оцінки очисних блоків на підземних гірничих роботах. Якщо оцінка призначена для розділення порожньої породи та руди на завершальному етапі видобутку, то згладжування виправдане для запобігання умовному зміщенню.

Однак якщо ваші оцінки вмістів призначені для проміжного етапу планування і в майбутньому з’явиться більш детальна інформація для розділення руди та порожньої породи у виробничих умовах, то згладжування буде проблемою, оскільки воно не відобразить правильне співвідношення вміст-тоннаж, яке можна очікувати в процесі видобутку (Glacken I. та Trueman A., 2014).

Кількість проб для оцінки та від’ємні ваги

Розрахунок цих показників виконується для підтвердження оптимального вибору незміщеної оцінки кригінгу з оптимальним розміром блоку.

При натисканні на маркер відповідні значення візуалізуються на графіку, і користувач має вибрати та зафіксувати найбільш прийнятні максимальне та мінімальне значення кількості проб (рис. 5).

РИС. 5 – Оцінка кількості проб в K-MINE

У рамках інтерполяції від’ємні ваги кригінгу можуть з’являтися на межі пошуку. Їх наявність вказує на вибір надійних параметрів інтерполяції, але їх кількість у загальній масі проб, що беруть участь в інтерполяції, не повинна перевищувати 5%. Якщо кількість ваг перевищує вказане значення, існує ризик отримання недостовірного результату.

У зонах зниженої щільності опробування або за відсутності проб присутня щонайменше одна від’ємна вага. Порожній простір на карті представляє блоки, в яких присутні лише додатні ваги. При простому кригінгу нахил регресії завжди дорівнює одиниці.

Розрахунок кількості від’ємних ваг кригінгу та суми від’ємних ваг в K-MINE виконується для всіх розмірів блоків, вказаних на вкладці «Оптимізація розміру блоку», з попередньо вибраними та зафіксованими налаштуваннями: кількість точок опробування, мінімальна та максимальна кількість проб, мінімальна кількість проб з однієї свердловини (рис. 6).

РИС. 6 – Оцінка від’ємних ваг в K-MINE

Після прийняття відповідних параметрів користувачі можуть перейти до наступних етапів інтерполяції та валідації блочної моделі. K-MINE підтримує простий та ординарний кригінг, кригінг із зовнішнім дрейфом, кокригінг тощо.

Обговорення

KNA може бути інтегрований у робочі процеси оцінки ресурсів, дозволяючи геологам оптимізувати параметри безпосередньо в програмному забезпеченні та застосовувати ці оптимізовані налаштування до фінальної оцінки вмістів. Перед геологами постійно стоїть завдання надавати точні оцінки ресурсів швидше, якісніше або дешевше.

З одного боку, програмне забезпечення допомагає виконувати багато ітерацій швидше, але водночас зростає потреба в розумінні геостатистичних методів та взаємодії з багатьма іншими дисциплінами. Взаємозв’язок між бортовим вмістом, варіограмою, кроком опробування, необхідним ступенем згладжування та оціночною селективністю вилучення — складне завдання.

Включаючи в модельну оцінку фактори геометалургії, геотехніки тощо, геолог повинен мати знання в цих галузях. Потужні обчислювальні технології — хороший інструмент лише в руках професіонала.

У спільноті фахівців з оцінки ресурсів ведуться дискусії про дві протилежні цілі: мінімізацію глобального умовного зміщення та забезпечення локальної точності блоків. В умовах високої щільності опробування обидві цілі досяжні, але на етапах передпроєктних досліджень та техніко-економічного обґрунтування рідко вдається одночасно мінімізувати глобальне зміщення та забезпечити локальну точність вмістів. Кріге (1996) обговорює інструменти для вимірювання (і, відповідно, мінімізації) умовного зміщення в оцінці, тоді як Айзекс (2004) розглядає парадокс спроби досягти незміщеної, але локально точної оцінки. На думку Глекена та Труемана (2014), більшості оцінювачів вдається досягти або умовно незміщеної, або локально точної оцінки, і для більшості акцент робиться на досягненні мінімального умовного зміщення на шкоду локальній точності.

Заключним завданням оцінки ресурсів є присвоєння категорій класифікації для визначення достовірності ресурсів. Досить часто можна почути дискусії серед геологів про параметри блочної моделі, які необхідно враховувати при віднесенні ресурсів до категорій «Виміряні», «Зазначені» та «Припущені».

При полігональних методах ресурси зазвичай класифікуються за загальною щільністю буріння. Інший підхід полягає у врахуванні середньої відстані від центру блоку до проб, використаних для оцінки блоку, або просто кількості проб, виявлених в об’ємі пошуку. Це включає багаторазові запуски оцінки зі збільшенням радіуса пошуку проб. У цьому випадку блоки оцінюються з використанням найбільш віддалених проб з присвоєнням найнижчої категорії достовірності. Недоліком цього автоматизованого підходу є сумнозвісний ефект «плямистого собаки» та порушення необхідної вимоги неперервності рудного тіла.

Також популярні підходи до класифікації категорій ресурсів на основі дисперсії кригінгу або похибки, що вноситься при оцінці. Дисперсія кригінгу є хорошим індикатором загальної відстані між пробами з урахуванням анізотропії та кластеризації проб. Інші чисельні підходи включають коефіцієнт регресії та індекси ефективності кригінгу, запропоновані Кріге.

Підсумовуючи все вищесказане, класифікація ресурсів ґрунтується на поєднанні чисельних та геологічних критеріїв за необхідного контролю з боку компетентної особи.

Розвиток умовного моделювання та використання потужних обчислювальних технологій і штучного інтелекту відкривають нові перспективи для створення універсальних комплексних модулів, що поєднують моделювання ресурсів з оптимізацією та плануванням гірничих робіт. Саме в цьому напрямку розвивається K-MINE.