Анализ окрестности кригинга (Kriging Neighborhood Analysis, KNA) в геологии — это геостатистический метод, используемый для оптимизации параметров кригинга, техники геостатистической оценки, с целью повышения точности и достоверности оценки минеральных ресурсов. В частности, KNA помогает минимизировать условное смещение — распространённую проблему кригинга, при которой оценённые содержания в блоках имеют меньшую вариабельность, чем фактические содержания.

Большинство методов оценки ресурсов используют ту или иную форму сглаживания содержаний для интерполяции значений в блок на основе окружающих проб. Процесс определения подходящей схемы поиска проб часто называют анализом окрестности кригинга, а руководство по его применению рассмотрено в работе Vann, Jackson и Bertoli (2003). Эти методы можно разделить на две категории: негеостатистические и геостатистические.

Негеостатистические методы интерполяции содержаний используют определённую зависимость между расстоянием от пробы до центра блока и присвоенным ей весом. Наиболее распространённый подход взвешивает каждую пробу по некоторой степени обратного расстояния от оцениваемого блока (метод обратных расстояний, IDW).

Все геостатистические подходы к интерполяции содержаний основаны на той или иной форме кригинга, где вес, присваиваемый каждой пробе, определяется моделью полувариограммы, описывающей пространственную непрерывность. Эти геостатистические методы можно разделить на три класса: линейный кригинг, нелинейный кригинг и имитационное моделирование.

Методы линейного кригинга наиболее просты в применении и основаны на простом или ординарном кригинге и его модификациях. При моделировании ресурсов методом кригинга необходимо установить ряд параметров оценки, таких как размер блока блочной модели, минимальное и максимальное количество проб и т.д.

Если интерполяция содержаний в блоке блочной модели выполнялась методом ординарного или простого кригинга, то для категоризации ресурсов необходимо рассчитать несколько атрибутов, характеризующих качество результатов оценки для каждого блока (включая наличие смещённой оценки).

В большинстве современных программных продуктов эти параметры рассчитываются автоматически. Различные программные пакеты включают функционал KNA для помощи геологам в этом процессе. С выходом версии K-MINE 2025 анализ окрестности кригинга (KNA) стал доступен при выполнении геостатистического анализа.

В данной статье мы рассмотрим основные метрики KNA и их влияние на оценку ресурсов.

Основные метрики KNA

Для оценки качества кригинга используется набор метрик, объединённых под общим названием «Анализ окрестности кригинга» (KNA): дисперсия кригинга, эффективность кригинга, наклон регрессии, величина отрицательных весов и др. Путём оптимизации этих параметров KNA стремится минимизировать условное смещение — разницу между оценёнными содержаниями в блоках и фактическим средним содержанием в отработанных блоках.

Оптимизация размера блока

РИС. 1 – Иллюстрация эффекта объём-дисперсия или изменения носителя от точек до всего домена на распределение содержаний и вариограмму

Определение размера блока требует тщательной оценки множества факторов, включая инженерные соображения, геометрию рудного тела, размеры оборудования и шаг опробования. На рисунке 2 показано, что на основе эффективности кригинга и наклона регрессии оптимальный размер блока составляет 80×80×40.

РИС. 2 – Оптимизация размера блока в K-MINE

Однако следует помнить, что понятие «оптимальный» должно определяться для каждой конкретной ситуации. Обсуждение должно сместиться от условного смещения к цели оценки и задачам исследования.

Эффективность кригинга

Эффективность кригинга (Kriging Efficiency, KE) была введена Криге (1996) как метрика для оценки эффективности блочных оценок. Формула для KE:

где KV — дисперсия кригинга, BV — дисперсия блока.

Формула для BV:

где μ — множитель Лагранжа, λi — коэффициенты кригинга, γ(xi,xo) — значение вариограммы для расстояний в парах: проба — точка оценки (центр блока).

Высокое значение KE указывает на низкое значение KV, что свидетельствует о наличии множества близко расположенных точек данных и минимальном сглаживании оценки. Напротив, низкое значение KE означает высокое KV, что указывает на недостаток локальных данных и возможность получения сглаженной оценки.

Дисперсия кригинга

Дисперсия кригинга — это минимизированная ошибка оценки кригинга, т.е. ожидаемая квадратичная разность между истинным и оценённым значениями. Дисперсия кригинга рассчитывается с использованием значений ковариации (полученных из вариограммы) и весов, присвоенных точкам данных в пространстве поиска (Barboza I. и Deutsch C., 2024). Формула для KV:

где μ — множитель Лагранжа, λi — коэффициенты кригинга, γ(xi,V) — среднее арифметическое значение γ по вариограмме для расстояний до всех точек опробования в блоке от точки xi, γ(V,V) — среднее арифметическое значение γ по вариограмме между всеми точками опробования внутри блока.

KV в сочетании с эффективностью кригинга представляет собой тесно взаимосвязанный набор параметров для оценки качества кригинга.

Расчёт KV тесно связан с дискретизацией, поскольку требует вычисления средней гаммы по точкам дискретизации в блоке, а не только по центральной точке блока, как при расчёте BV.

Принцип дискретизации заключается в оценке среднего значения в пределах заданной локальной области (в K-MINE — в пределах виртуального блока, координаты центра и размеры которого задаются в начальных настройках).

Для этого пользователь должен указать количество дискретных точек внутри блока. Точки дискретизации — это центры ячеек внутри оцениваемого блока (рис. 3). Каждая точка оценивается (как точечная оценка), а среднее значение этих точек является оценкой блока. Количество точек дискретизации соответствует количеству ячеек, на которые делится блок.

РИС. 3 – Количество точек дискретизации по направлениям осей в K-MINE

Начальный размер блока и координаты его центра задаются пользователем. Затем, в зависимости от заданного количества дискретных точек, исходный блок равномерно делится на соответствующее количество ячеек по направлениям X, Y и Z, а координаты центров образованных подблоков будут соответствовать точкам дискретизации. Таким образом, количество дискретных точек определяет количество подблоков.

Например, если для начального блока с размером ребра по осям X, Y и Z 10×10×5 задана комбинация дискретных точек: по направлению X=3, по направлению Y=3, по направлению Z=3. Это означает, что блок равномерно делится на три ячейки по трём осям. Размер ребра подблоков составит: для X=10/3=3,33 м, для Y=10/3=3,33 м, для Z=5/3=1,66 м, а количество дискретных точек (центров подблоков) в начальном блоке будет: 3×3×3=27.

На графике рис. 4 красная горизонтальная линия соответствует значению эффективности кригинга 80%. Эта линия служит ориентиром для пользователя при выборе оптимального количества точек опробования.

РИС. 4 – Оценка дискретизации в K-MINE

Оптимальный вариант дискретизации определяется точками на графике, расположенными максимально близко к красной (эффективность кригинга 80%) и синей линиям (наклон регрессии 0,9).

Наклон регрессии

Наклон регрессии (Slope of Regression, SR) является мерой условного смещения, измеряющей наклон линейной регрессии истинного значения относительно оценки. Это непосредственно наблюдается при перекрёстной валидации, но также может быть теоретически рассчитано для каждого блока с использованием ожидаемых значений, полученных из ковариаций.

где µ — множитель Лагранжа при расчёте KV.

Наклон линии регрессии, учитывающей истинные и оценённые значения, часто используется для диагностики условного смещения. В идеале наклон этой линии должен быть равен единице, что означает условную несмещённость.

К наклону регрессии и эффективности кригинга следует относиться с осторожностью. Расчётное снижение смещения может быть неподходящим подходом к оценке содержаний металла, особенно на месторождениях, требующих высоких бортовых содержаний для отработки.

Условное смещение представляет серьёзную проблему, если оценка предназначена для принятия окончательного или близкого к окончательному решения, например, для оперативного контроля содержаний на карьере или для оценки очистных блоков на подземных горных работах. Если оценка предназначена для разделения пустой породы и руды на завершающем этапе добычи, то сглаживание оправдано для предотвращения условного смещения.

Однако если ваши оценки содержаний предназначены для промежуточного этапа планирования и в будущем появится более детальная информация для разделения руды и пустой породы в производственных условиях, то сглаживание будет проблемой, поскольку оно не отразит правильное соотношение содержание-тоннаж, которое можно ожидать в процессе добычи (Glacken I. и Trueman A., 2014).

Количество проб для оценки и отрицательные веса

Расчёт этих показателей выполняется для подтверждения оптимального выбора несмещённой оценки кригинга с оптимальным размером блока.

При нажатии на маркер соответствующие значения визуализируются на графике, и пользователь должен выбрать и зафиксировать наиболее приемлемые максимальное и минимальное значения количества проб (рис. 5).

РИС. 5 – Оценка количества проб в K-MINE

В рамках интерполяции отрицательные веса кригинга могут появляться на границе поиска. Их наличие указывает на выбор надёжных параметров интерполяции, но их количество в общей массе проб, участвующих в интерполяции, не должно превышать 5%. Если количество весов превышает указанное значение, существует риск получения недостоверного результата.

В зонах пониженной плотности опробования или при отсутствии проб присутствует как минимум один отрицательный вес. Пустое пространство на карте представляет блоки, в которых присутствуют только положительные веса. При простом кригинге наклон регрессии всегда равен единице.

Расчёт количества отрицательных весов кригинга и суммы отрицательных весов в K-MINE выполняется для всех размеров блоков, указанных на вкладке «Оптимизация размера блока», с предварительно выбранными и зафиксированными настройками: количество точек опробования, минимальное и максимальное количество проб, минимальное количество проб из одной скважины (рис. 6).

РИС. 6 – Оценка отрицательных весов в K-MINE

После принятия соответствующих параметров пользователи могут перейти к следующим этапам интерполяции и валидации блочной модели. K-MINE поддерживает простой и ординарный кригинг, кригинг с внешним дрейфом, кокригинг и др.

Обсуждение

KNA может быть интегрирован в рабочие процессы оценки ресурсов, позволяя геологам оптимизировать параметры непосредственно в программном обеспечении и применять эти оптимизированные настройки к финальной оценке содержаний. Перед геологами постоянно стоит задача предоставлять точные оценки ресурсов быстрее, качественнее или дешевле.

С одной стороны, программное обеспечение помогает выполнять множество итераций быстрее, но в то же время растёт потребность в понимании геостатистических методов и взаимодействии со многими другими дисциплинами. Взаимосвязь между бортовым содержанием, вариограммой, шагом опробования, требуемой степенью сглаживания и оценочной селективностью извлечения — сложная задача.

Включая в модельную оценку факторы геометаллургии, геотехники и т.д., геолог должен обладать знаниями в этих областях. Мощные вычислительные технологии — хороший инструмент только в руках профессионала.

В сообществе специалистов по оценке ресурсов ведутся дискуссии о двух противоположных целях: минимизации глобального условного смещения и обеспечении локальной точности блоков. В условиях высокой плотности опробования обе цели достижимы, но на этапах предпроектных исследований и технико-экономического обоснования редко удаётся одновременно минимизировать глобальное смещение и обеспечить локальную точность содержаний. Криге (1996) обсуждает инструменты для измерения (и, следовательно, минимизации) условного смещения в оценке, тогда как Айзекс (2004) рассматривает парадокс попытки достичь несмещённой, но локально точной оценки. По мнению Глэкена и Труэмана (2014), большинству оценщиков удаётся достичь либо условно несмещённой, либо локально точной оценки, и для большинства акцент делается на достижении минимального условного смещения в ущерб локальной точности.

Заключительной задачей оценки ресурсов является присвоение категорий классификации для определения достоверности ресурсов. Довольно часто можно услышать дискуссии среди геологов о параметрах блочной модели, которые необходимо учитывать при отнесении ресурсов к категориям «Измеренные», «Указанные» и «Предполагаемые».

При полигональных методах ресурсы обычно классифицируются по общей плотности бурения. Другой подход заключается в учёте среднего расстояния от центра блока до проб, использованных для оценки блока, или просто количества проб, выявленных в объёме поиска. Это включает многократные запуски оценки с увеличением радиуса поиска проб. В этом случае блоки оцениваются с использованием наиболее удалённых проб с присвоением самой низкой категории достоверности. Недостатком этого автоматизированного подхода является печально известный эффект «пятнистой собаки» и нарушение необходимого требования непрерывности рудного тела.

Также популярны подходы к классификации категорий ресурсов на основе дисперсии кригинга или ошибки, вносимой при оценке. Дисперсия кригинга является хорошим индикатором общего расстояния между пробами с учётом анизотропии и кластеризации проб. Другие численные подходы включают коэффициент регрессии и индексы эффективности кригинга, предложенные Криге.

Подводя итог всему вышесказанному, классификация ресурсов основывается на сочетании численных и геологических критериев при необходимом контроле со стороны компетентного лица.

Развитие условного моделирования и использование мощных вычислительных технологий и искусственного интеллекта открывают новые перспективы для создания универсальных комплексных модулей, объединяющих моделирование ресурсов с оптимизацией и планированием горных работ. Именно в этом направлении развивается K-MINE.